Question

（08年新建二中五模） 如图,矩形与所在平面垂直,将矩形沿对折,使得翻折后点落在上,设.

    ⑴试求关于的函数解析式；

    ⑵当取最小值时,指出点的位置,并求出此时与平面所成的角；

    ⑶在条件⑵下,求三棱锥内切球的半径.

 

Answer 1

解析：(1)显然h＞1，连接AQ，

∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=,

∴,即

.∴y=(h＞1).                                                 

(2)y===+≥2,                                             

当且仅当,即h=时，等号成立.

此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.                  

(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,则(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)?r=VP－ADQ .

∵VP－ADQ=S△ADQ?PA=,S△PAQ=1,S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,∴r=