Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC取得最大值时三角形的形状．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中角的正弦转换成边，整理即可根据余弦定理求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）把A=120°带入sinB+sinC利用两角和公式整理，最后利用三角函数的图象与性质求得其取最大值时B的度数，进而判断三角形的形状．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即   a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得  a²=b²+c²-2bcosA，
故 cosA=-

1

2

，
∴A=120°                         
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin（B+60°），
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1，三角形为等腰钝角三角形．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中长利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的互化．