Question

某地政府为科技兴市，欲将如下图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA∥BC,且AB=BC=2AO=4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.（精确到0.1 km²）

Answer 1

解:以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图，

依题意可设抛物线方程为y²=2px(p＞0),且C（4，2）.

∵2²=2p·4,∴p=.

故曲线段OC的方程为y²=x(0≤x≤4,y≥0).

设P(y²,y)(0≤y＜2)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，

∴工业区面积S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y²)=-y³-2y²+4y+8.

S′=-3y²-4y+4，令S′=0得y₁=,y₂=-2.

∵0＜y＜2,∴y=.

当y∈(0, )时，S′＞0，S是y的增函数;

当y∈(,2)时，S′＜0，S是y的减函数.

∴y=时，S取到极大值，此时|PQ|=2+y=,|PN|=4-y²=,

故S=×=≈9.5.∵y=0时,S=8,∴S _max=9.5 km².

所以，把工业园区规划成长为km，宽为km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km².