Question

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．

Answer 1

解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令，则，
∴（4分）

（2）设0＜x₁＜x₂，则
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴（6分）
（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）

（3）∵y=4sinx的图象如右图所示
又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，
由图象在[0，2π]内有1个交点，
在（2π，4π]内有2个交点，
在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）
分析：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令，即可求出的值；
（2）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；
（3）分别画出y=4sinx的图象与y=f（x）的图象，结合图象以及函数的单调性判定出交点的个数即可．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．