Question

【题目】(导学号：05856309)

已知抛物线C的方程为x2＝4y，M(2,1)为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．

(Ⅰ)求|MF|；

(Ⅱ)设直线l2：y＝kx＋m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝－1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2；(2) 在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1)

【解析】试题分析：（1）求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；

（2）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用，求出N点坐标．

试题解析：

(Ⅰ)由题可知2p＝4，即p＝2，由抛物线的定义可知|MF|＝1＋＝2.

(Ⅱ)由C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上．

设N(0，n)，又设点P(x0，)，由直线l2：y＝kx＋m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与C相切．

由y＝x2得y′＝x，∴，

∴直线l2的方程为y－＝ (x－x0)，

令y＝－1得x＝，

∴Q点的坐标为(－，－1)，

∴＝(x0，－n)，＝(－，－1－n)．

∵点N在以PQ为直径的圆上，

∴·＝－2－(1＋n)(－n)

＝(1－n)＋n2＋n－2＝0，①

要使方程①对x0恒成立，

必须有解得n＝1，

∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1).