Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；④a=2；⑤a=4．
（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值，请说明理由；
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；
（3）记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的点Q_n有几个，试求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

Answer 1

分析：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)，由此能求出a的可能取值．
（2）a=1时，x=1，点Q的坐标为（1，1，0），从而

PQ

=(1，1，-2)，又

AB

=(1，0，0)为平面ADP的一个法向量，
所以cos?

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ |×| AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，由此能求出直线PQ与平面ADP所成角的正切值．
（3）a=

3

2

时，x=

1

2

或x=

3

2

，即满足条件的点Q有两个，其坐标为Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，所以∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，知二面角Q₁-PA-Q₂的大小为30．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）∵

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，
∴由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)
∵x∈[0，2]，
a²=x（2-x）∈（0，1]
∴在所给数据中，
a可取a=

3

2

和a=1两个值．
（2）由（1）知a=1，
此时x=1，即Q为BC中点，
∴点Q的坐标为（1，1，0）
从而

PQ

=(1，1，-2)，
又

AB

=(1，0，0)为平面ADP的一个法向量，
∴cos?

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ |×| AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为

5

5

．
（3）由（1）知a=

3

2

，
此时x=

1

2

或x=

3

2

，
即满足条件的点Q有两个，
其坐标为Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．
由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，
得∠Q₁AQ₂=30？，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小为30．

点评：本题考查空间角的求法，解题时要认真审题，恰当地建立空间直角坐标系，注意向量法的合理运用．