Question

在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。
（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）
（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。 证明：对任意,,有

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题设，可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0，得
于是。
所以成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得
当≠1时，可知≠1，k
从而
所以是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有

所以
因此，
以下分两种情况进行讨论：
（1）  当n为偶数时，设n=2m()
若m=1,则.
若m≥2，则
+

所以
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）


所以从而···
综合（1）（2）可知，对任意,,有
证法二：（i）证明：由题设，可得
所以

由可知。可得，
所以是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为所以。
所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。
从而。
所以，由，可得
。
于是，由（i）可知
以下同证法一。