Question

若正数x，y满足

x+y≤≤6 5x+y≥7 y≥ex

，则

y

x

的最小值为

 

，最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域，求出最优解的坐标，得到

y

x

的最大值，再由导数求出曲线y=e^x过原点的切线的斜率得到

y

x

的最小值．

解答： 解：由约束条件

x+y≤6 5x+y≥7 y≥ex

作出可行域如图，

联立

x+y=6 5x+y=7

，解得C（

1

4

，

23

4

），
由图可知，

y

x

的最大值为kOC=

23 4

1 4

=23；
最小值为曲线y=e^x过原点的切线的斜率．
设切点为P（x0，ex0），y′|x=x0=ex0，
则过点P（x0，ex0）处的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），
把原点（0，0）代入切线方程，得-ex0=ex0(-x0)，得x₀=1．
把x₀=1代入ex0得，曲线y=e^x过原点的切线的斜率为e．
∴

y

x

的最小值为e．
故答案为：e；23．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用导数求过曲线上某点的切线的斜率，是中档题．