Question

2．已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：A₁（3，-2$\sqrt{3$）、A₂（-2，0）、A₃（4，-4）、A₄（$\sqrt{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（Ⅰ）经判断点A₁，A₃在抛物线C₂上，试求出C₁，C₂的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l的斜率为1，且经过抛物线C₂的焦点F与椭圆C₁交于A、B两点，求线段AB的长；
（ III）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C₂有两个交点A，B的任一直线，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系数法能求出C₁、C₂的标准方程．
（Ⅱ）由C₂的标准方程求出焦点坐标，写出AB所在直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，由两点间的距离公式求得线段AB的长；
（Ⅲ）假设存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C₂有两个交点A，B的任一直线，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．设直线方程为x=ty+m，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系求得M，N的横纵坐标的和与积，结合$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0恒成立可得关于m的不等式，求解不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），
则有$\frac{{y}^{2}}{x}=2p$（x≠0），
∵A₁（3，-2$\sqrt{3}$）、A₃（4，-4）在抛物线上，
将A₃坐标代入曲线方程，得C₂：y²=4x．
设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由题设知A₂（-2，0）、A₄（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C₁上，
把点A₂（-2，0），A₄（$\sqrt{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵C₂：y²=4x，
∴p=2，
∴抛物线焦点坐标为F（1，0），则直线l的方程为y=x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
∴A（0，-1），B（$\frac{8}{5}，\frac{3}{5}$）．
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}+1）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$；
（Ⅲ）假设存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C₂有两个交点A，B的任一直线，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．
设直线方程为x=ty+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ty-4m=0．
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，
x₁x₂=（ty₁+m）（ty₂+m）=${t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+tm（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$=-4mt²+4t²m+m²=m²．
$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=m²-t（y₁+y₂）-2m+1-4m=m²-4t²-6m+1＜0．
即m²-6m+1＜4t²，则m²-6m+1＜0，
解得：$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．
∴存在正数m∈（$3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}$），对于过点M（m，0）且与曲线C₂有两个交点A，B的任一直线，都有$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$＜0．

点评 本题考查抛物线、椭圆、直线方程的求法，考查抛物线的焦点坐标和椭圆的离心率的求法，解题时要注意待定系数法的合理运用，是中档题．