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如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,EF为棱ADAB的中点.A1C1和B1D1相交于点O.A1C1=2a,BB1=B1C1=a,

(Ⅰ)求证:EF∥平面CB1D1

(Ⅱ)求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值.

答案:
解析:

  证明:(Ⅰ)连结BD.在长方体AC1中,对角线BD‖B1D1

  又∵EF为棱ADAB的中点,

  ∴

  ∴ 3分

  又∵B1D1平面平面

  ∴EF∥平面CB1D1. 6分

  (Ⅱ)∵在长方体中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而AA1平面AC·C1A1

  ∴平面ACC1A1⊥平面A1B1C1D1且平面ACC1A1∩平面A1B1C1D1A1C1

  ∵在RT⊿A1B1C1中,A1C1=2a=2B1C1,易知,⊿OB1C1是等边三角形. 8分

  取OC1中点M,连结B1M,则有B1M⊥A1C1,∴B1M⊥平面ACC1A1

  连结MC,则∠B1CM即为直线B1C与平面ACC1A1所成角 10分

  在RT⊿B1MC中,B1M=,B1C=

  ∴sin∠B1CM= 12分


练习册系列答案
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如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2
3
,AD=2
3
,AA1=2.
求:
①BC和A1C1所成的角度是多少度?
②AA1和B1C1所成的角是多少度?

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①求AE的长;
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3
,AD=2
3
,AA′=2,
(1)哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线?
(2)直线BC与直线A’C’所成角是多少度?
(3)哪些棱所在直线与直线AA’是垂直?

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(2008•宣武区一模)如图,已知长方体AC1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B点作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F
(1)求证:AC1⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A1B1C的距离;
(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值.

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