Question

在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，则能使不等式(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0成立的最大正整数n是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：先由0＜a₁＜a₄=1判断公比q的范围，可得n＞4时an-

1

an

＞0，再用q表示出a₁，…，a₇，从而得到前7项之间的关系，可得(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(a7-

1

a7

)=0，从而得到所给的不等式成立的最大正整数n．

解答： 解：由在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，得q＞1，
所以n＞4时，an-

1

an

＞0，
由a4=a1q3=1得，a₁=

1

q3

，
所以a₂=a₁q=

1

q2

，a3=a1q2=

1

q

，a4=a1q3=1，
a5=a1q4=q，a6=a1q5=q2，a7=a1q6=q3，
综上得，a1=

1

a7

，a2=

1

a6

，a3=

1

a5

，
则(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(a7-

1

a7

)=0，
所以不等式(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0成立的最大正整数n是7，
故答案为：7．

点评：本题考查数列和不等式的综合，运算求解能力，推理论证能力；化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．