Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的

2

倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，

OB

，

OC

，

OS

分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量

OC

与

SD

，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；
（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量

DS

和平面DAC的一个法向量

OS

，设所求二面角为θ，则cosθ=

OS • DS

| OS || DS |

=

3

2

，从而求出二面角的大小；
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知

DS

是平面PAC的一个法向量，设

CE

=t

CS

，求出

BE

，根据

BE

•

DS

=0可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，

.

BE

⊥

.

DS

，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC

解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，

OB

，

OC

，

OS

分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．
设底面边长为a，则高SO=

6

2

a．
于是S(0，0，

6

2

a)，D(-

2

2

a，0，0)，
C(0，

2

2

a，0)，

OC

=(0，

2

2

a，0)，

SD

=(-

2

2

a，0，-

6

2

a)，

OC

•

SD

=0
故OC⊥SD
从而AC⊥SD
（2）由题设知，平面PAC的一个法向量

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，
平面DAC的一个法向量

OS

=(0，0，

6

2

a)．
设所求二面角为θ，则cosθ=

OS • DS

| OS || DS |

=

3

2

，
所求二面角的大小为30°．
（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知

DS

是平面PAC的一个法向量，
且

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，

CS

=(0，-

2

2

a，

6

2

a)
设

CE

=t

CS

，
则

BE

=

BC

+

CE

=

BC

+t

CS

=(-

2

2

a，

2

2

a(1-t)，

6

2

at)
而

BE

•

DS

=0?t=

1

3

即当SE：EC=2：1时，

.

BE

⊥

.

DS

而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．