Question

14．已知函数f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1，x∈R．
（i）求f（x）的最小正周期及f（x）取得最小值时x的集合；
（ii）在平面直角坐标系中画出函数f（x）在一个周期内的图象；
（iii）说明f（x）的图象如何由y=sinx变换得到；
（iv）求f（x）的单调区间、对称轴万程．

Answer 1

分析 （i）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，即可求出f（x）的最小正周期及f（x）取得最小值时x的集合；
（ii）直接在平面直角坐标系中画出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（iii）利用图象的变换规律确定f（x）的图象如何由y=sinx变换得到；
（iv）由图象可得f（x）的单调区间、对称轴方程．

解答 解：（i）函数f（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
所以f（x）的最小正周期是π，
当2x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x=kπ-$\frac{π}{8}$（k∈Z）时，sin（2x-$\frac{π}{4}$）取得最小值-1，
从而f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$，
所以f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（ii）图象如图所示．
（iii）由y=sinx向右平移$\frac{π}{4}$个单位，横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍得到明f（x）的图象；
（iv）由图象可得f（x）的单调减区间为[$\frac{3}{8}$π+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，单调增区间[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3}{8}$π+kπ]、对称轴方程x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$．

点评 本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的求法，图象的作法，考查计算能力，作图能力．