Question

5．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{CA}$，△ACD的面积为1，则△ABD的面积为4．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$可知D点在BC上，求出$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{CB}$的倍数关系即可得到△ACD和△ABD的面积比．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，∴B，C，D三点共线．
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{CB}$，∴|CD|=$\frac{1}{4}$|BD|，
∴S_△ABD=4S_△ACD=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，属于基础题．