Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+5|-|x-1|+t}$的定义域为R．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若t的最小值为s，正实数a、b满足$\frac{2}{a+2b}$+$\frac{1}{2a+b}$=s，求4a+5b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数y=|x+5|-|x-1|的值域为[-6，6]，由恒成立可得t≥6；
（2）换元法：令a+2b=m，2a+b=n，问题转化为正数m，n满足$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=6，求2m+n的最小值问题，由基本不等式可得．

解答 解：（1）研究函数y=|x+5|-|x-1|，
当x≤-5时，y=-6，当x≥1时，y=6，
当-5＜x＜1时，y=2x+4∈（-6，6），
故函数y=|x+5|-|x-1|的值域为[-6，6]，
∵函数f（x）=$\sqrt{|x+5|-|x-1|+t}$的定义域为R，
∴被开方的式子恒大于等于0，故t≥6；
（2）由（1）知正实数a、b满足$\frac{2}{a+2b}$+$\frac{1}{2a+b}$=6，
令a+2b=m，2a+b=n，则正数m，n满足$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=6，
则4a+5b=2m+n=$\frac{1}{6}$（2m+n）（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{2m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{2m}{n}$即m=n=$\frac{1}{2}$时取等号，此时a=b=$\frac{1}{6}$，
故4a+5b的最小值为$\frac{3}{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及函数恒成立和换元的思想，属中档题．