Question

17．已知F为抛物线y²=ax（a＞0）的焦点．M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k₁的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k₂，且k₁=$\sqrt{2}$k₂．则a=8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用k₁=$\sqrt{2}$k₂，可得y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y₃+y₄）设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，求出y₁y₃=-4a，同理y₂y₄=-4a，进而可得y₁y₂=-2$\sqrt{2}$a，设AB所在直线方程为x=ty+$\frac{a}{4}$，代入抛物线方程，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则
k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{a}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
∵k₁=$\sqrt{2}$k₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y₃+y₄）．
设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y²-aty-4a=0，
∴y₁y₃=-4a，
同理y₂y₄=-4a，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{-4a}{{y}_{1}}$+$\frac{-4a}{{y}_{2}}$），
∴y₁y₂=-2$\sqrt{2}$a，
设AB所在直线方程为x=ty+$\frac{a}{4}$，代入抛物线方程，可得y²-aty-$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，
∴y₁y₂=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴-2$\sqrt{2}$a=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a=8$\sqrt{2}$．
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．