Question

15．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），半径r=1．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），点P的直角坐标为（1，2），直线l交圆C于A，B两点，求$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出圆的直角坐标方程，再出圆C的极坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆C，得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=1，由直线参数方程的几何意义能求出$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值．

解答 解：（1）∵圆C的圆心C极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），半径r=1，
∴圆心C的直角坐标C（0，1），
∴圆的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴圆C的极坐标方程为ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入圆C：x²+（y-1）²=1，
整理，得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=1，
由直线参数方程的几何意义得
|PA|+|PB|=2|sinθ+cosθ|，|PA|•|PB|=1
∴$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}|sin（θ+\frac{π}{4}）|}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
当θ=$\frac{π}{4}$时，$\frac{|PA|•|PB|}{|PA|+|PB|}$的最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程和直角坐标方程互化公式的合理运用．