【题目】如图,已知椭圆的焦点和上项点分别为
,我们称
为椭圆
的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比. 若椭圆
,直线
已知椭圆
与椭圆
是相似椭圆,求
的值及椭圆
与椭圆
相似比;
求点
到椭圆
上点的最大距离;
如图,设直线
与椭圆
相交于
两点,与椭圆
交于
两点,求证:
.
【答案】(1),相似比为
(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)利用两个椭圆的特征三角形的底边长和高,由相似可得和相似比;
(2)设椭圆上一点为
,利用两点间距离公式求解,将
代入,得到关于
的二次函数,进而求解即可;
(3)分别联立直线与两椭圆方程,利用韦达定理得到两交点的横坐标的关系,再利用中点公式求得中点坐标,验证是否重合,即可得证
(1)解:由题,设椭圆的焦距为
,椭圆
的焦距为
,
因为椭圆与椭圆
是相似椭圆,所以
,即
,解得
或
(舍),
此时相似比为
(2)解:设椭圆上一点为
,则
,
因为,
所以,
因为,所以当
时,
,
所以点到椭圆
上点的最大距离为
(3)证明:直线不与
轴垂直,设
,
,线段
的中点
,
联立,消去
可得
,
所以,则
,
设,
,线段
的中点
,
联立,消去
可得
,
所以,则
,
故线段,
的中点重合,
所以
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【题目】己知一个动点M在圆上移动,它与定点
所连线段的中点为P.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)过定点的直线与点P的轨迹交于A,B两点,求弦AB的中点C的轨迹.
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【题目】如图,平面四边形ABCD中,E、F是AD、BD中点,AB=AD=CD=2, BD=2 ,∠BDC=90°,将△ABD沿对角线BD折起至△
,使平面
⊥平面BCD,则四面体
中,下列结论不正确是 ( )
A. EF∥平面
B. 异面直线CD与所成的角为90°
C. 异面直线EF与所成的角为60°
D. 直线与平面BCD所成的角为30°
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【题目】已知点,点
为曲线
上的动点,过
作
轴的垂线,垂足为
,满足
。
(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线
交于两不同点
,
( 非原点),过
,
两点分别作曲线
的切线,两切线的交点为
。设线段
的中点为
,若
,求直线
的斜率.
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【题目】某手机专卖店对某市市民进行
手机认可度的调查,在已购买
手机的1000名市民中,随机抽取100名,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:
分组(岁) | 频数 |
5 | |
35 | |
10 | |
合计 | 100 |
(1)求频数分布表中,
的值,并补全频率分布直方图;
(2)在抽取的这100名市民中,从年龄在、
内的市民中用分层样的方法抽取5人参加
手机宣传活动,现从这5人中随机选取2人各赠送一部
手机,求这2人中恰有1人的年龄在
内的概率.
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【题目】已知椭圆:
的长轴长是短轴长的
倍,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过椭圆的左焦点的直线与椭圆
相交所得弦长为
,求直线
的斜率;
(3)过点的任意直线与椭圆
交于
、
两点,设点
、
到直线
:
的距离分别为
.若
,求
的值.
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【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势:
下列叙述正确的是( )
A.这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B.这20天中的中度污染及以上的天数占
C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说,该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
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【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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