Question

7．已知函数f（x）=2x³-3x+1，g（x）=kx+1-lnx．
（1）设函数$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜1\\ g（x），x≥1\end{array}\right.$，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；
（2）若过点P（a，-4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；
（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+1）（x-1）²=0，x=-$\frac{1}{2}$或1，∴x=-$\frac{1}{2}$是h（x）的零点；
∵g′（x）=k-$\frac{1}{x}$，
k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．
k＜-1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；
k=-1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；
-1＜k＜0，g（1）＞0，g（e^1-k）=ke^1-k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；
综上所述，k＜-1时，h（x）有1个零点；-1≤k＜0时，h（x）有两个零点；
（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x²-6x，∴切线斜率f′（t）=6t²-6t，
∴切线方程为y-f（t）=（6t²-6t）（x-t），
∵切线过P（a，-4），∴-4-f（t）=（6t²-6t）（a-t），
∴4t³-3t²-6t²a+6ta-5=0①
由题意，方程①有3个不同的解．
令H（t）=4t³-3t²-6t²a+6ta-5，则H′（t）=12t²-6t-12at+6a=0．t=$\frac{1}{2}$或a．
a=$\frac{1}{2}$时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；
a$＞\frac{1}{2}$时，在（-$∞，\frac{1}{2}$），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（$\frac{1}{2}$，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（$\frac{1}{2}$），极小值为H（a）；
a$＜\frac{1}{2}$时，在（-∞，a），（$\frac{1}{2}$，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，$\frac{1}{2}$）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H（$\frac{1}{2}$）；
要使方程①有三个不同解，则H（$\frac{1}{2}$）H（a）＜0，即（2a-7）（a+1）（2a²-5a+5）＞0，
∴a＞$\frac{7}{2}$或a＜-1．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了斜率的表示方法，用到函数零点个数的判断，属于难题．