Question

16．已知函数$f（x）=（1-k）x+\frac{1}{e^x}$．
（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据导数和极值的关系即可求出k的值，
（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间，
（Ⅲ）切点坐标为（x₀，y₀），根据导数的几何意义，以及导数和最值得关系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
∴$f'（x）=\frac{{（1-k）{e^x}-1}}{e^x}$
∵函数f（x）在x=0处取得极值
∴$f'（0）=\frac{{（1-k）{e^0}-1}}{e^0}=0$，解得：k=0
当k=0时，$f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}$，$f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}＞0⇒x＞0，f'（x）=\frac{{{e^x}-1}}{e^x}＜0⇒x＜0$，
∴函数f（x）在x=0处取得极小值，符合题意．
（Ⅱ）因为$f'（x）=\frac{{（1-k）{e^x}-1}}{e^x}$．
①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）为减函数
②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=-ln（1-k），
当x∈（-∞，-ln（1-k））时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-ln（1-k））上单调递减；
当x∈（-ln（1-k），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（-ln（1-k），+∞）上单调递增；
（III）设切点坐标为（x₀，y₀），
则切线方程为y-y₀=f'（x₀）（x-x₀）
即$y-（{x_0}+\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）=（1-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}）（x-{x_0}）$
将A（0，t）代入得$t=\frac{{{x_0}+1}}{{{e^{x_0}}}}$．
令$M（x）=\frac{x+1}{e^x}$，所以 $M'（x）=\frac{-x}{e^x}$．
当$M'（x）=\frac{-x}{e^x}=0$时，x₀=0．
所以 当x∈（-∞，0）时，M'（x）＞0，函数M（x）在x∈（-∞，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，M'（x）＜0，M（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．
所以 当x₀=0时，M（x）_max=M（0）=1，无最小值．
当t≤1时，存在切线．

点评 本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于难题．