Question

6．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面ABC垂直，且AA₁=4，AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）证明：AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）求直线BB₁与平面AB₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得CC₁⊥平面ABC，从而AC⊥CC₁，由∠ACB=90°，得AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）过B作BG⊥B₁C，从而AC⊥BC，由线面垂直得CC₁⊥AC，从而AC⊥面B₁BCC₁，进而∠BB₁G是直线BB₁与平面AB₁C所成角，由此能求出直线BB₁与平面AB₁C所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面ABC垂直，
∴CC₁⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AC⊥CC₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：过B作BG⊥B₁C，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥面ABC，∴CC₁⊥AC，
∴AC⊥面B₁BCC₁，∴AC⊥BG，
∵BG⊥B₁C，∴BG⊥面AB₁C，
∴∠BB₁G是直线BB₁与平面AB₁C所成角，∴cos∠BB₁G=$\frac{B{B}_{1}}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线BB₁与平面AB₁C所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，是中档题，