Question

15．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． （-1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 构造函数：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{0-1}{{e}^{0}}$=-1．对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．

解答 解：构造函数：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{0-1}{{e}^{0}}$=-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，
∴g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）{e}^{x}-[f（x）-1]{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{{f}^{′}（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函数g（x）在R单调递减，
由f（x）+e^x＜1化为：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$＜-1=g（0），
∴x＞0．
∴使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．