Question

5．已知函数$f（x）=x{e^x}-a（\frac{1}{2}{x^2}+x）（a∈R）$．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若?x∈（-2，0），f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为$a≤\frac{{2{e^x}}}{x+2}$在（-2，0）恒成立，令$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x+2}$（-2＜x＜0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
（Ⅲ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f'（x）=（x+1）e^x，∴切线的斜率k=f'（1）=2e，
又f（1）=e，y=f（x）在点（1，e）处的切线方程为y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0．
（Ⅱ）∵对?x∈（-2，0），f（x）≤0恒成立，∴$a≤\frac{{2{e^x}}}{x+2}$在（-2，0）恒成立，
令$g（x）=\frac{{2{e^x}}}{x+2}$（-2＜x＜0），$g'（x）=\frac{{2{e^x}（x+2）-2{e^x}}}{{{{（x+2）}^2}}}=\frac{{2{e^x}（x+1）}}{{{{（x+2）}^2}}}$，
当-2＜x＜-1时，g'（x）＜0，当-1＜x＜0时，g'（x）＞0，
∴g（x）在（-2，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，
∴$g{（x）_{min}}=g（-1）=\frac{{2{e^{-1}}}}{-1+2}=\frac{2}{e}$，故实数a的取值范围为$（-∞，\frac{2}{e}]$．
（Ⅲ）f'（x）=（x+1）（e^x-a）．
令f'（x）=0，得x=-1或x=lna，
①当$a=\frac{1}{e}$时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上单调递增；
②当$0＜a＜\frac{1}{e}$时，lna＜-1，
由f'（x）＞0，得x＜lna或x＞-1；由f'（x）＜0，得lna＜x＜-1．
∴f（x）单调递增区间为（-∞，lna），（-1，+∞）；单调减区间为（lna，-1）．
③当$a＞\frac{1}{e}$时，lna＞-1，
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞lna；由f'（x）＜0，得-1＜x＜lna．
∴f（x）单调增区间为（-∞，-1），（lna，+∞），单调减区间为（-1，lna）．
综上所述：当$a=\frac{1}{e}$时，f（x）在R上单调递增；
当$0＜a＜\frac{1}{e}$时，f（x）单调增区间为（-∞，lna），（-1，+∞），单调减区间为（lna，-1）；
当$a＞\frac{1}{e}$时，f（x）单调增区间为（-∞，-1），（lna，+∞），单调减区间为（-1，lna）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．