Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x₀，2$\sqrt{2}$）（x₀＞$\frac{p}{2}$）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，若$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，则|$\overrightarrow{AF}$|=1．

Answer 1

分析 由题意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，可得|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），利用$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，求出x₀，p，即可求出|$\overrightarrow{AF}$|．

解答 解：由题意，|MF|=x₀+$\frac{p}{2}$．
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=$\frac{p}{2}$截得的弦长为$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{MA}$|，
∴|MA|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），
∵$\frac{|\overrightarrow{MA|}}{|\overrightarrow{AF|}}$=2，
∴|MF|=$\frac{3}{2}$|MA|，
∴x₀=p，
∴2p²=8，∴p=2，
∴|$\overrightarrow{AF}$|=1．
故答案为1．

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．