Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，则这个三角形必含有（　　）

• A． 90°的内角
• B． 60°的内角
• C． 45°的内角
• D． 30°的内角

Answer 1

分析 先把已知条件等号左边的分子分母利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，分子分母都乘以cosAcosB后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简后，根据三角形的内角和定理及诱导公式，得到2cosA=1，然后在等号两边都乘以sinA后，利用二倍角的正弦函数公式及诱导公式化简后，即可得到2A=B+C，由A+B+C=180°，即可解得：A=60°．

解答 解：$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{\frac{sinA}{cosA}-\frac{sinB}{cosB}}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{c-b}{c}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
因为sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，得到sin（A-B）=sinC-sinB，
即sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=2cosAsinB，
得到2cosA=1，即2sinAcosA=sinA，即sin2A=sinA=sin（B+C），
由2A+B+C≠π，得到2A=B+C，
因为A+B+C=180°
所以可解得：A=60°
故选：B．

点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式以及诱导公式化简求值，属于中档题．