Question

19．已知等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，a₂+a₆=6，S₃=5．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令${b_n}=\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（{n≥2}），{b_1}=3，{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$，若T_n＜m对一切n∈N^*都成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设等差数列{a_n}的公差为d，根据题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+6d=6}\\{3{a_1}+3d=5}\end{array}}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）根据裂项求和即可得到S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ） 设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂+a₆=6，S₃=5得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+6d=6}\\{3{a_1}+3d=5}\end{array}}\right.$，
解得a₁=1，d=$\frac{2}{3}$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
当n=1时，上式同样成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
又$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）随n递增，且$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{9}{2}$•1≤m，
又m∈N^*，∴m≥5，
∴m的最小值为5

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．