Question

7．已知函数f（x）=|x+$\frac{1}{x}$-ax-b|（a，b∈R），当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，即有f（x）=x+$\frac{1}{x}$-ax-b，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出导数和极值点，计算端点处的函数值，比较可得最大值M（a，b），即可得到所求最小值．

解答 解：由题意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，
即有f（x）=x+$\frac{1}{x}$-ax-b，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a=$\frac{（1-a）{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0可得x=$\sqrt{\frac{1}{1-a}}$（负的舍去），
且为极小值点，
且$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{1-a}}$≤2，解得-3≤a≤$\frac{3}{4}$，
则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$a-b，f（2）=$\frac{5}{2}$-2a-b，
由f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$a＜0，即有f（2）取得最大值，
即有M（a，b）=$\frac{5}{2}$-2a-b，
可得a=0，b=$\frac{9}{4}$时，取得最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求得极值点，比较端点处的函数值，考查不等式的性质，以及推理能力及运算能力，属于中档题．