Question

17．已知数列{a_n}满足${a_1}=1，|{{a_n}-{a_{n-1}}}|=\frac{1}{2^n}（{n≥2，n∈N}）$，且{a_2n-1}是递减数列，{a_2n}是递增数列，则5-6a₁₀=$\frac{1}{512}$．

Answer 1

分析 由于{a_2n-1}是递减数列，因此a_2n+1-a_2n-1＜0，于是（a_2n+1-a_2n）+（a_2n-a_2n-1）＜0；由于$\frac{1}{{{2^{2n+1}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n}}}}$，可得|a_2n+1-a_2n|＜|a_2n-a_2n-1|．可知a_2n+2-a_2n＜0．可得a_2n+1-a_2n＞0．利用a₁₀=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a₁₀-a₉），即可得出．

解答 解：由于{a_2n-1}是递减数列，因此a_2n+1-a_2n-1＜0，于是（a_2n+1-a_2n）+（a_2n-a_2n-1）＜0  ①．
因为$\frac{1}{{{2^{2n+1}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n}}}}$，所以|a_2n+1-a_2n|＜|a_2n-a_2n-1|②．
由①②知a_2n-a_2n-1＜0．因为{a_2n}是递增数列，
所以a_2n+2-a_2n＞0，a_2n+2-a_2n+1+a_2n+1-a_2n＞0，|a_2n+2-a_2n+1|＜|a_2n+1-a_2n|，所以a_2n+1-a_2n＞0．
于是a₁₀=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a₁₀-a₉）=1-$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$-…$（-\frac{1}{2}）^{9}$=1+$\frac{-\frac{1}{4}[1-（-\frac{1}{2}）^{9}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{6}（5-\frac{1}{{2}^{9}}）$．
所以5-6a₁₀=$\frac{1}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{512}$．
故答案为：$\frac{1}{512}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．