Question

6．某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．
表1：男生身高频数分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

表2：女生身高频数分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

（1）求该校高一女生的人数；
（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则$\frac{700-x}{x}$=$\frac{40}{30}$，解得x．
（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=$\frac{42}{70}$．即估计该校学生身高在[165，180）的概率．
（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为$\frac{1}{3}$．男生身高在[165，180）的概率为$\frac{4}{5}$．即可得出X的分布列与数学期望．

解答 解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，
则$\frac{700-x}{x}$=$\frac{40}{30}$，解得x=300．
因此高一女学生人数为300．
（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．
∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率=$\frac{42}{70}$=$\frac{3}{5}$．
估计该校学生身高在[165，180）的概率=$\frac{3}{5}$．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．
由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为$\frac{1}{3}$．男生身高在[165，180）的概率为$\frac{4}{5}$．
∴P（X=0）=$（1-\frac{4}{5}）×（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{2}{15}$，P（X=1）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{1}{3}）$+$（1-\frac{4}{5}）×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{15}$，P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{15}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{9}{15}$	$\frac{4}{15}$

∴E（X）=0+$1×\frac{9}{15}$+$2×\frac{4}{15}$=$\frac{17}{15}$．

点评 本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．