Question

15．已知P为抛物线y=2x²上的点，若点P到直线l：4x-y-6=0的距离最小，则点P的坐标为（1，2）．

Answer 1

分析 设抛物线y=2x²上一点为A（x₀，2x₀²），求出点A（x₀，2x₀²）到直线l：4x-y-6=0的距离，利用配方法，由此能求出抛物线y=2x²上一点到直线l：4x-y-6=0的距离最短的点的坐标．

解答 解：设抛物线y=2x²上一点为P（x₀，2x₀²），
点A（x₀，2x₀²）到直线l：4x-y-6=0的距离d=$\frac{丨4{x}_{0}-2{x}_{0}^{2}-6丨}{\sqrt{{4}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$|2（x₀-1）²-8|，
∴当x₀=1时，即当A（1，2）时，抛物线y=2x²上一点到直线l：4x-y-6=0的距离最短．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，是基础题．