Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，证明OE∥PB，即可证明PB∥平面ACE；
（Ⅱ）证明BC⊥平面PAC，即可证明：平面PBC⊥平面PAC．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OE，
∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD中点，
又E为PD中点，∴OE∥PB，
又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（Ⅱ）∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC．
在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}-2AB•BC•cos∠ABC}$=$\sqrt{{2^2}+{1^2}-2×2×1×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²+BC²，∴BC⊥AC．
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．

点评 本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，熟练掌握线线、线面、面面垂直之间的相互转化是关键．