Question

18．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且$2\sqrt{ab}-4{a^2}-{b^2}$的最大值是$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 利用$\sqrt{\frac{4{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}≥\frac{2a+b}{2}≥\sqrt{2ab}$，可得$\sqrt{2ab}$≤$\frac{1}{2}$，4a²+b²≥$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，
∴由$\sqrt{\frac{4{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}≥\frac{2a+b}{2}≥\sqrt{2ab}$，可得$\sqrt{2ab}$≤$\frac{1}{2}$，4a²+b²≥$\frac{1}{2}$，
∴S=2$\sqrt{ab}$-（4a²+b²）≤$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴S的最大值为$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．