Question

8．已知函数f（x）=（x-$\frac{3}{4}$）e^x，g（x）=4x²-4x+mln（2x）（m∈R），g（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）求f（x₁-x₂）的最小值；
（2）若不等式g（x₁）≥ax₂恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，g（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），推出$\left\{\begin{array}{l}△=16-32m＞0\\ \frac{m}{8}＞0\end{array}\right.$，求出m的范围，化简x₁-x₂，通过$x∈（{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}}）$时，f'（x）＜0，当$x∈（{-\frac{1}{4}，0}）$时，f'（x）＞0，求解f（x₁-x₂）的最小值．
（2）通过g（x₁）≥ax₂得$a≤\frac{{g（{x_1}）}}{x_2}$，化简$\frac{{g（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{4{x_1}^2-4{x_1}+mln（2{x_1}）}}{{\frac{1}{2}-{x_1}}}$=$2[{（1-2{x_1}）-\frac{1}{{1-2{x_1}}}+2（2{x_1}）ln（2{x_1}）}]$，构造ϕ（x）=$2[{（1-x）-\frac{1}{1-x}+2xlnx}]$（$0＜x＜\frac{1}{2}$），求出导函数，利用函数的单调性求解最值即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）$g'（x）=8x-4+\frac{m}{x}=\frac{{8{x^2}-4x+m}}{x}（x＞0）$，
令g'（x）=0得8x²-4x+m=0①，
因为g（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），
所以方程①在（0，+∞）上有两个不等实根x₁，x₂，
所以$\left\{\begin{array}{l}△=16-32m＞0\\ \frac{m}{8}＞0\end{array}\right.$解得$0＜m＜\frac{1}{2}$，
且${x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}，0＜{x_1}＜\frac{1}{4}$，…（3分）
所以${x_1}-{x_2}={x_1}-（\frac{1}{2}-{x_1}）=2{x_1}-\frac{1}{2}∈（{-\frac{1}{2}，0}）$$f'（x）=（x+\frac{1}{4}）{e^x}$，
当$x∈（{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}}）$时，f'（x）＜0，当$x∈（{-\frac{1}{4}，0}）$时，f'（x）＞0，
所以f（x₁-x₂）的最小值为$f（-\frac{1}{4}）=-{e^{-\frac{1}{4}}}$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，$0＜m＜\frac{1}{2}，{x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{m}{8}（0＜{x_1}＜\frac{1}{4}，\frac{1}{4}＜{x_2}＜\frac{1}{2}）$，
由g（x₁）≥ax₂得$a≤\frac{{g（{x_1}）}}{x_2}$，…（6分）
所以$\frac{{g（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{4{x_1}^2-4{x_1}+mln（2{x_1}）}}{{\frac{1}{2}-{x_1}}}$
=$\frac{{4{x_1}^2-4{x_1}+8{x_1}{x_2}ln（2{x_1}）}}{{\frac{1}{2}-{x_1}}}$
=$\frac{{4{x_1}^2-4{x_1}+8{x_1}（\frac{1}{2}-{x_1}）ln（2{x_1}）}}{{\frac{1}{2}-{x_1}}}$
=$\frac{{{{（2{x_1}-1）}^2}-1+2（2{x_1}）（1-2{x_1}）ln（2{x_1}）}}{{\frac{1}{2}（1-2{x_1}）}}$
=$2[{（1-2{x_1}）-\frac{1}{{1-2{x_1}}}+2（2{x_1}）ln（2{x_1}）}]$…（9分）
令ϕ（x）=$2[{（1-x）-\frac{1}{1-x}+2xlnx}]$（$0＜x＜\frac{1}{2}$），
则ϕ'（x）=$2[{1-\frac{1}{{{{（1-x）}^2}}}+2lnx}]$
因为$0＜x＜\frac{1}{2}$，
所以$-1＜x-1＜-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}＜{（x-1）^2}＜1$，φ'（x）＜0，即φ（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$递减，$φ（x）＞φ（\frac{1}{2}）=-3-2ln2$，
综上，实数a的取值范围为（-∞，-3-2ln2]…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．