Question

19．已知函数$f（x）={x^2}-\frac{a}{2}lnx$的图象在点$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$处的切线斜率为0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}mx$在区间（1，+∞）上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，求出$f'（x）=2x-\frac{a}{2x}$．利用切线的斜率为0，求出a，利用导函数的符号，求函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间．
（Ⅱ）求出$g'（x）=2x-\frac{1}{2x}+\frac{m}{2}=\frac{{4{x^2}+mx-1}}{2x}=0$，求解极值点，利用函数的单调性，结合g（x）在区间（1，+∞）上没有零点，推出g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，得$\frac{1}{2}m＞\frac{lnx}{2x}-x$，令$y=\frac{lnx}{2x}-x$，利用导函数的单调性，求出最值，然后推出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={x^2}-\frac{a}{2}lnx$的定义域为（0，+∞），$f'（x）=2x-\frac{a}{2x}$．
因为$f'（\frac{1}{2}）=1-a=0$，所以a=1，$f（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx$，$f'（x）=2x-\frac{1}{2x}=\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$．
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，
故函数f（x）的单调递增区间是$（\frac{1}{2}，+∞）$，单调递减区间是$（0，\frac{1}{2}）$．
（Ⅱ）$g（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx+\frac{1}{2}mx$，由$g'（x）=2x-\frac{1}{2x}+\frac{m}{2}=\frac{{4{x^2}+mx-1}}{2x}=0$，得$x=\frac{{-m+\sqrt{{m^2}+16}}}{8}$，
设${x_0}=\frac{{-m+\sqrt{{m^2}+16}}}{8}$，所以g（x）在（0，x₀]上是减函数，在[x₀，+∞）上为增函数．
因为g（x）在区间（1，+∞）上没有零点，所以g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
由g（x）＞0，得$\frac{1}{2}m＞\frac{lnx}{2x}-x$，令$y=\frac{lnx}{2x}-x$，则$y'=\frac{2-2lnx}{{4{x^2}}}-1$=$\frac{{2-2lnx-4{x^2}}}{{4{x^2}}}$．
当x＞1时，y'＜0，所以$y=\frac{lnx}{2x}-x$在（1，+∞）上单调递减；
所以当x=1时，y_max=-1，故$\frac{1}{2}m≥-1$，即m∈[-2，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值以及最值的求法，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．