Question

10．椭圆的焦点为F₁，F₂，椭圆上存在点P使得$∠{F_1}P{F_2}=\frac{2π}{3}$，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 先根据椭圆定义得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到余弦定理得cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（a+{ex}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$，求出 x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．

解答 解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（a+{ex}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$，
解得   x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$＜a2，
即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
故选：A．

点评 本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．