Question

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点分别是F₁，F₂，椭圆上有一点P，∠F₁PF₂=30°，则三角形F₁PF₂的面积为$18-9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=30°，|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2$\sqrt{7}$，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=30°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2$\sqrt{7}$，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos30°
=64-（2+$\sqrt{3}$）|F₁P|•|PF₂|
=28，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$．
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin30°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$
=18-9$\sqrt{3}$．
故答案为：$18-9\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．