Question

8．设函数f（x）=$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）}$（x＞-1且x≠0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）值域
（3）已知2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$＞（x+1）^m对任意x∈（-1，0）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，求导，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，当f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；
（2）由（1）可知，当x=e^-1-1时，f（x）取得极大值，即可求得函数的函数f（x）值域；
（3）由m＞$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$，对x∈（-1，0）恒成立，利用函数的单调性即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{（x+1）ln（x+1）}$（x＞-1且x≠0），求导，f′（x）=-$\frac{ln（x+1）+1}{（x+1）^{2}l{n}^{2}（x+1）}$，
∴当f′（x）＞0时，即ln（x+1）+1＜0，-1＜x＜e^-1-1，
当f′（x）＜0时，即ln（x+1）+1＞0，e^-1-1＜x＜0或x＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（-1，e^-1-1），
函数f（x）的单调递减区间是（e^-1-1，0），（0，+∞），
（2）由f′（x）=0时，即ln（x+1）+1=0，x=e^-1-1，由（1）可知f（x）在（-1，e^-1-1）上递增，在（e^-1-1，0），递减，
∴在区间（-1，0）上，当x=e^-1-1时，f（x）取得极大值，
即最大值为f（e^-1-1）=-e，
在区间（（0，+∞）上，f（x）＞0
∴函数f（x）的值域为（-∞，-e）∪（0，+∞）；
（3）2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$＞（x+1）^m＞0，x∈（-1，0），两边取自然对数得，$\frac{1}{x+1}$ln2＞mln（x+1），
∴m＞$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$，对x∈（-1，0）恒成立
则m大于$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$的最大值，
由（2）可知，当x=e^-1-1时，$\frac{ln2}{（x+1）ln（x+1）}$取得最大值-eln2，
∴m＞-eln2，
实数m的取值范围（-eln2，+∞），

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．