Question

16．设变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+2y-2≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}\right.$，若z=a²x+y（a＞0）的最大值为4，则a=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，平移关于目标函数的直线，结合图象求出a的值．

解答 解：画出不等式组表示的可行域如图中影部分所示，
由z=a²x+y得y=-a²x+z，
目标函数z的最大值，是直线y=-a²x+z在y轴上的最大截距．
由图形可知，
当直线y=-a²x+z过点A时，在y轴上的截距取得最大值．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}}\right.$，解得$A（\frac{7}{4}，\frac{15}{4}）$，
则$\frac{7}{4}{a^2}+\frac{15}{4}=4$，注意到a＞0，
求得$a=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．