Question

4．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S_△OAF=4S_△OBF，则直线AB的斜率为（　　）

• A． ±$\frac{3}{5}$
• B． ±$\frac{4}{5}$
• C． ±$\frac{3}{4}$
• D． ±$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 据S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，求得-y₁=4y₂，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．

解答 解：根据题意设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=4S_△BOF，得|AF|=4|BF|，|，$\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB}$，得$（\frac{p}{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）=4（{x}_{2}-\frac{p}{2}，{y}_{2}）$，
故-y₁=4y₂，即$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=-4$．
设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消元得ky²-2py-kp²=0．
故y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=-p2．则$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=-\frac{9}{4}$，
$-\frac{4}{{k}^{2}}=-\frac{9}{4}$，解得k=$±\frac{4}{3}$，即直线AB的斜率为$±\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．