Question

9．已知函数$f（x）=ln（{x+1}）-\frac{ax}{1-x}（{a∈R}）$．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若-1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），
求出f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{（1-x）^{2}}=\frac{x（x-3）}{（x-1）^{2}（x+1）}$，即可求单调区间；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1-a}{（x-1）^{2}（x+1）}，-1＜x＜1$，
分（1）a≤0，（2）当a＞0，讨论单调性及最值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{（1-x）^{2}}=\frac{x（x-3）}{（x-1）^{2}（x+1）}$，
当-1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的增区间为（-1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1-a}{（x-1）^{2}（x+1）}，-1＜x＜1$，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
当a＞0时，由f′（x）=0，得x₁=$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{2}$，x₂=$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{2}$．
若0＜a＜1，此时0＜x₁＜1，对0＜x＜x₁，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
若a＞1，此时-1＜x₁＜0，对x₁＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，
综上实数a的取值为1．

点评 本题考查了导数的综合应用，属于难题，