Question

18．已知函数g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e²-2]．

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范围即可．

解答 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等价于2-e²≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e²-2]．
故答案为：[1，e²-2]

点评 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．