Question

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°．
（1）求证：BC⊥平面ACEF；
（2）求平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明 BC⊥AC，由平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，得BC⊥平面ACEF 
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出法向量即可．

解答 解：（1）证法一：在梯形ABCD中，AB∥CD，
AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，∴∠ADC=DCB=120°，∠DCA=∠DAC=30°，…（2分）
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，…（3分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF …（5分）


（2）取G为EF中点．连CG
∵四边形ACEF是菱形，∠CAF=60°，∴CG⊥EF即CG⊥AC
与（1）同理可知CG平面ABCD
如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，…（6分）
则有$A（2\sqrt{3}，0，0），B（0，2，0），D（\sqrt{3}，-1，0），F（\sqrt{3}，0，3）$，
$\overrightarrow{AB}=（-2\sqrt{3}，2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（-\sqrt{3}，0，3）$，$\overrightarrow{DF}=（0，1，3）$…（7分）
设$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面ABF的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow m=0\\ \overrightarrow{AF}•\overrightarrow m=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_1}+{y_1}=0\\-\sqrt{3}{x_1}+3{z_1}=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，3，1）$．  …（9分）
设$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$是平面ADF的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{DF}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_2}+3{z_2}=0\\{y_2}+3{z_2}=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-3，1）$．        …（11分）
设平面ABF与平面ADF所成锐二面角为θ，则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{5}{{\sqrt{13}•\sqrt{13}}}=\frac{5}{13}$，
即平面ABF与平面ADF所成锐二面角的余弦值为$\frac{5}{13}$．   …（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．