Question

1．已知数列{a_n}满足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n（n∈N^*），数列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，则S₁•S₂•S₃…S₁₀=$\frac{1}{11}$．

Answer 1

分析 根据2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n，求出a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，裂项求和得到S_n，代值计算即可．

解答 解：∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n，
∴2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=n-1，
∴2ⁿa_n=1，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{-n}•lo{g}_{2}{2}^{-（n+1）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴S₁•S₂•S₃…S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{9}{10}$×$\frac{10}{11}$=$\frac{1}{11}$，
故答案为：$\frac{1}{11}$

点评 本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．