Question

12．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用小矩形的面积之和为1求解，
（Ⅱ）200户居民月均用电量在[700，800）度的户数是8，月均用电量在[800，900]度的户数是4．
故随机变量X的取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）1-100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，
∴m=0.0015．
设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，
所以400＜x＜500，$x-400=\frac{0.5-0.48}{0.25}×100$，
故x=408，即居民月均用电量的中位数为408度．
（Ⅱ）200户居民月均用电量在[700，800）度的户数是8，月均用电量在[800，900]度的户数是4．
故随机变量X的取值为0，1，2，3，4，且$P（X=0）=\frac{C_8^4}{{C_{12}^4}}=\frac{70}{495}$，$P（X=1）=\frac{C_4^1•C_8^3}{{C_{12}^4}}=\frac{224}{495}$，$P（X=2）=\frac{C_4^2•C_8^2}{{C_{12}^4}}=\frac{168}{495}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3•C_8^1}{{C_{12}^4}}=\frac{32}{495}$，$P（X=3）=\frac{C_4^4•C_8^0}{{C_{12}^4}}=\frac{1}{495}$，
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{70}{495}$	$\frac{224}{495}$	$\frac{168}{495}$	$\frac{32}{495}$	$\frac{1}{495}$

故$E（X）=\frac{224+336+96+4}{495}=\frac{660}{495}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了统计，离散型随机变量的期望，属于中档题．