Question

20．关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数y=f（x），x∈D，如果对于任意的x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b成立（a，b为常数），则函数f（x）关于点（a，b）对称．
（1）用题设中的结论证明：函数f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$关于点（3，-2）；
（2）若函数f（x）既关于点（2，0）对称，又关于点（-2，1）对称，且当x∈（2，6）时，f（x）=2^x+3x，求：
①f（-5）的值；
②当x∈（8k-2，8k+2），k∈Z时，f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据题设中的结论证明即可，
（2）由题意可得f（x+8）=f（x）-2，①代值计算即可，
②由f（x）=f（x-8）-2=f（x-8×2）-2×2=f（x-8×3）-2×3=…=f（x-8k）-2k，然后代值计算即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f（3-x）+f（3-x）=（-2-$\frac{5}{x}$）+（-2-$\frac{5}{-x}$）=-4，
∴函数f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$关于点（3，-2）；
（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，
∴f（2+x）+f（2-x）=0，
即f（x）+f（4-x）=0，
又关于点（-2，1）对称，
∴f（-2+x）+f（-2-x）=2，
即f（x）+f（-4-x）=2，
∴f（-4-x）=2+f（4-x），
即f（x+8）=f（x）-2，
①f（-5）=f（3）+2=2³+3×3+2=19，
②x∈（8k-2，8k+2），x-8k∈（-2，2），4-（x-8k）∈（2，6），
∴f（x）=f（x-8）-2=f（x-8×2）-2×2=f（x-8×3）-2×3=…=f（x-8k）-2k，
又由f（t）=-f（4-t），
∴f（x）=f（x-8k）-2k=-f[4-（x-8k）]-2k=-[2^4-（x-8k）+3（4-（x-8k））]-2k，
∴即当x∈（8k-2，8k+2），k∈Z时，f（x）=-2^4-x+8k+3x-26k-12

点评 本题考查了抽象函数和新定义的应用，关键是掌握新定义的用法，属于中档题．