Question

10．已知数列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）证明：数列{na_n}是等差数列；
（2）记${b_n}=\frac{1}{{{n^2}{a_n}}}$，{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）数列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，可得na_n=（n-1）a_n-1+1，即na_n-（n-1）a_n-1=1，即可证明．
（2）由（1）可得：na_n=2+（n-1），可得n²a_n=n（n+1），b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 证明：（1）∵数列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，∴na_n=（n-1）a_n-1+1，即na_n-（n-1）a_n-1=1，
∴数列{na_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
（2）由（1）可得：na_n=2+（n-1），可得n²a_n=n（n+1）．∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．