Question

19．若圆x²+y²-x+my-4=0关于直线x-y=0对称，动点P（a，b）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+my≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域内部及边界上运动，则$z=\frac{b-2}{a-1}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由已知列式求得m值，代入约束条件，作出可行域，结合$z=\frac{b-2}{a-1}$的几何意义，即区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率求解．

解答 解：∵圆x²+y²-x+my-4=0关于直线x-y=0对称，
∴圆心$（\frac{1}{2}，-\frac{m}{2}）$在直在线x-y=0上，则$\frac{1}{2}=-\frac{m}{2}⇒m=-1$，
约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域如图：
$z=\frac{b-2}{a-1}$表示区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率．
∵${K_{OQ}}=\frac{2-0}{1-0}=2$，${K_{AQ}}=\frac{0-2}{2-1}=-2$，
∴$z=\frac{b-2}{a-1}$的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．