Question

4．已知a＞0，曲线f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得x=1处的切线的斜率，再由基本不等式，可得斜率的最小值，求出满足的条件，解方程可得a的值．

解答 解：f（x）=2ax²-$\frac{1}{ax}$的导数为f′（x）=4ax+$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为k=4a+$\frac{1}{a}$，
由a＞0，可得4a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{4a•\frac{1}{a}}$=4，
当且仅当4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$时，k取最小值．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．