Question

12．下列命题正确是①③，（写出所有正确命题的序号）
①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②若a∈（0，1），则a^1+a＜a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$；
③函数f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$是奇函数；
④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）为奇函数．

Answer 1

分析 ①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（-x）=f（-x+4）=-f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；
②，若a∈（0，1），1+a＜1+$\frac{1}{a}$则a^1+a＞a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$；
③，函数f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$满足f（x）+f（-x）=0，且定义域为（-1，1），f（x）是奇函数；
④，f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）为奇函数时（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）（-ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）=1⇒a=±$\sqrt{2}$．

解答 解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（-x）=f（-x+4）=-f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；
对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+$\frac{1}{a}$则a^1+a＞a${\;}^{1+\frac{1}{a}}$，故错；
对于③，函数f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$满足f（x）+f（-x）=0，且定义域为（-1，1），f（x）是奇函数，正确；
对于④，f（x）=lg（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）为奇函数时，（ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）（-ax+$\sqrt{{2x}^{2}+1}$）=1⇒a=±$\sqrt{2}$，故错．
故答案为：①③

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．