Question

7．等差数列{a_n}中，a₂=2，数列{b_n}中，b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，b₄=4b₂．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n≤2017，求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，先判断{b_n}为等比数列，根据条件求出公比和公差，从而可求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n=b₁+b₂+…+b_n，根据等比数列的求和公式得到2ⁿ⁺¹-2≤2017，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴b_n-1=${2}^{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=${2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2^d，
∴数列{b_n}为等比数列，
设公比为q，则q=2^d，
∵b₄=4b₂，
∴q=2或q=-2（舍去），
∴d=1，
∴a₁=a₂-d=2-1=1，
∴a_n=n，
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）设T_n=a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n，
=b₁（a₂-a₁）+b₂（a₃-a₂）+…+b_n（a_n+1-a_n），
=b₁+b₂+…+b_n，
=2+2²+…+2ⁿ，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2
∵a₂b₁-a₁b₁+a₃b₂-a₂b₂+…+a_n+1b_n-a_nb_n≤2017，
∴2ⁿ⁺¹-2≤2017，
∴2ⁿ⁺¹≤2019＜2¹¹，
∴n+1＜11，
∴n＜10，
∴n的最大值9．

点评 本题考查数列的通项，考查数列的求和，确定数列中的基本量，属于中档题